Cho a < b < c là ba số nguyên. Biết a, b, c theo thứ tự tạo thành một cấp số cộng và a, c, b theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân. Tìm giá trị nhỏ nhất của c.

Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC. Ta xây dựng dãy các tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\), \({A_2}{B_2}{C_2}\), \({A_3}{B_3}{C_3}\),… sao cho \({A_1}{B_1}{C_1}\) là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương \(n \ge2\), tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) là tam giác trung bình của tam giác \({A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}\). Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S_n tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\). Tính tổng \(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\)?

Xét các số thực dương a, b sao cho -25, 2a, 3b là cấp số cộng  và 2, a + 2, b - 3 là cấp số nhân. Khi đó \({a^2} + {b^2} - 3ab\) bằng : 

Cho dãy số (u_n) có \({u_1} = \frac{1}{5}\) và \({u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{5n}}{u_n}\), \(\forall n \ge 1\). Tìm tất cả giá trị n để \(S = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{u_k}}}{k} < \frac{{{5^{2018}} - 1}}{{{{4.5}^{2018}}}}} \)

Cho dãy số (a_n) thỏa mãn a₁ = 1 và \({a_n} = 10{a_{n - 1}} - 1\), \(\forall n \ge 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của n để \(\log {a_n} > 100\).

Trong dịp hội trại hè 2017, bạn Anh thả một quả bóng cao su từ độ cao 6m so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng quãng đường quả bóng đã bay (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa) khoảng:

Cho dãy số (u_n) được xác định bởi u₁ = 2; \({u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3n - 1\). Công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho là biểu thức có dạng \(a{.2^n} + bn + c\), với a, b, c là các số nguyên, \(n \ge 2\); \(n \in N\). Khi đó tổng a + b + c có giá trị bằng

Cho dãy số xác định bởi u₁ = 1, \({u_{n + 1}} = \frac{1}{3}\left( {2{u_n} + \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} \right);{\rm{ }}n \in {N^*}\). Khi đó u₂₀₁₈ bằng

Cho cấp số nhân (a_n) có a₁ = 3 và a₂ = -6. Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân đã cho.

Cho cấp số nhân (a_n) có \(a_1=7,a_6=224\) và \(S_k=3577\). Tính giá trị của biểu thức \(T = \left( {k + 1} \right){a_k}.\)

Tìm x để các số 2; 8; x; 128 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Cho cấp số nhân \(\frac{{ - 1}}{5};a;\frac{{ - 1}}{{125}}\). Giá trị của a bằng bao nhiêu?

Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 4; q = - 4 Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát u_n?

Ba số x; y ; z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính \(F = {x^2} + {y^2} + {z^2}.\)

Các số x + 6y; 5x + 2y; 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời, các số \(x + \frac{5}{3},y - 1,2{\rm{x}} - 3y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y.

Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu có \(10^{12}\) tế bào thì sau 3 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh M là 1,2%. Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là 2 triệu người. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau 9 năm nữa số dân của tỉnh M sẽ là bao nhiêu?

Biết rằng tồn tại hai giá trị m₁ và m₂ để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: \(2{{\rm{x}}^3} + 2\left( {{m^2} + 2m - 1} \right){x^2} - 7\left( {{m^2} + 2m - 2} \right)x - 54 = 0.\) Tính giá trị của biểu thức \(P = m_1^3 + m_2^3.\)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: \({x^3} - \left( {3x + 1} \right){{\rm{x}}^2} + \left( {5m + 4} \right)x - 8 = 0.\)

Cho cấp số nhân (u_n) có \(u_1=8\) và  biểu thức \(4{u_3} + 2{u_2} - 15{u_1}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(S_{10}\).

Cho cấp số nhân (a_n) có \({a_1} = 7,{a_6} = 224\) và \({S_k} = 3577.\) Tính giá trị của biểu thức \(T = \left( {k + 1} \right){a_k}.\)

Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc nhỏ nhất bằng \(\frac{1}{9}\) số đo của góc nhỏ thứ ba. Hãy tính số đo của các góc trong tứ giác đó.

Cho cấp số nhân (a_n) có \(a_1=2\) và biểu thức \(20{{\rm{a}}_1} - 10{{\rm{a}}_2} + {a_3}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ bảy của cấp số nhân đó.

Cho cấp số nhân \(x,12,y,192.\) Tìm x và y.

Cho cấp số nhân (a_n) có \(a_3=8\) và  \(a_5=32.\)Tìm số hạng thứ mười của cấp số nhân đó.

Cho cấp số nhân (x_n) có \({x_2} = - 3\) và \({x_4} = - 27.\) Tính số hạng đầu \({x_1}\) và công bội q của cấp số nhân.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi \(u_1=3\) và \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{4},\forall n \ge 1.\) Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân.

Dãy số nào dưới đây không là cấp số nhân?

Một người gửi ngân hàng 150 triệu đồng theo thể thức lãi kép, lãi suất 0,58% một tháng (kể từ tháng thứ 2, tiền lãi được tính theo phần trăm của tổng tiền lãi tháng trước đó và tiền gốc của tháng trước đó). Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có 180 triệu đồng?

Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7% /năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Giả sử trong khoảng thời gian gửi người gửi không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi, hỏi sau 10 năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được gần với số tiền nào trong các số tiền dưới đây?

Một khu rừng có trữ lượng gỗ là \({4.10^5}\) mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ?

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: \({x^3} - 7{x^2} + 2\left( {{m^2} + 6m} \right)x - 8 = 0.\)

Số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân. Biết thể tích của khối hộp là 125cm³ và diện tích toàn phần là 175cm². Tính tổng số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật đó.

Cho cấp số nhân (u_n) có \(u_1=3\) và \(15{u_1} - 4{u_2} + {u_3}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho.

Cho cấp số nhân (u_n) có tổng n số hạng đầu tiên là \({S_n} = {5^n} - 1.\) Tìm số hạng đầu u₁ và công bội q của cấp số nhân đó.

Cho cấp số nhân (x_n) có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2} - {x_4} + {x_5} = 10}\\ {{x_3} - {x_5} + {x_6} = 20} \end{array}} \right..\) Tìm \(x_1\) và công bội q.

Cho cấp số nhân (a_n) có \(a_1=3\) và \(a_2=-6\). Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân đã cho.

Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?